Episod 5: Despre spații și dimensiune

Introducere și exemple comune

Salutare și mulțumim pentru curiozitatea cu care ne urmăriți și ne citiți! În cărți, jocuri, filme, videoclipuri — în mai toate mediile care conțin prezentări de popularizare a ideilor din fizica modernă apare invariabil conceptul de dimensiune. O prezentare istorică va conține aproape întotdeauna mențiunea că Albert Einstein și predecesorul său, Hermann Minkowski, au demonstrat că trăim într-un continuu spațio-temporal, cu 4 dimensiuni. Acesta este, de multe ori, punctul de pornire pentru discuții mai mult sau mai puțin riguroase privitoare la însuși conceptul de "dimensiune". Ulterior, după anii 1960, fizicienii au făcut cîțiva pași mai departe, anunțînd, prin descoperiri matematice remarcabile ale unor cercetători precum Edward Witten că "realitatea" se prezintă, de fapt, în 11 dimensiuni, folosind acest aspect în dezvoltarea teoriei corzilor (în engleză, string theory, cu variațiile sale, M-theory, brane theory și altele).

Acestea sînt doar cîteva dintre modurile foarte surprinzătoare de a atrage atenția asupra conceptului de dimensiune. Iar curiozitatea ne este, în general, stimulată de faptul că de cele mai multe ori se vorbește despre un număr de dimensiuni mai mare decît 3. Aceasta deoarece cu toții sîntem familiarizați cu faptul că lumea în care trăim este una tridimensională. Atît de mult ne-am obișnuit cu acest lucru, încît nici nu ne mai întrebăm ce înseamnă lucrul acesta, ci acceptăm, ca atare, că "lumea are trei dimensiuni". La școală desenăm axe de coordonate, segmente, drepte și spunem că facem o reprezentare bidimensională și foarte rar ajungem să lucrăm cu reprezentări tridimensionale ("în 3D", cum se spune de obicei). Însă conceptul ne pare familiar. Am jucat jocuri video în care se specifică faptul că ele au o "grafică bidimensională" (ca de exemplu, Mario, Tetris, RimWorld, Celeste, vezi imaginile de mai jos). Celeste Mario 2D RimWorld

Mai știm, de asemenea, că desenele pe care le găsim în multe cărți de benzi desenate (comic books) sînt bidimensionale. Însă odată cu evoluția tehnologiei digitale, majoritatea jocurilor video folosesc astăzi "grafică tridimensională". Similar, există software specializat care ne permite să lucrăm cu imagini bidimensionale, precum Photoshop sau GIMP, fie cu reprezentăi tridimensionale, precum Blender și Maya.

Adăugăm observația importantă că exemplele de mai sus țin strict de evoluția tehnologiei digitale și a computerelor noastre, însă în ce privește arta sau desenele tehnice ori științifice, sugerarea volumului și lucrul cu corpuri tridimensionale datează de mii de ani. Unul dintre primele exemple de geometrie a corpurilor solide apare într-un papirus egiptean datat aproximativ în jurul anului 2000 î. e. n., unde este figurat un trunchi de piramidă, căruia i se calculează volumul. În lumea virtuală din zilele noastre, însă, putem spune că avem obiecte "realmente tridimensionale", deoarece ele pot fi manipulate, rotite, secționate pentru a le vedea din mai multe unghiuri, spre deosebire de imaginile statice pe care le oferă, de exemplu, pictura.

Imagistica medicală trece printr-o evoluție similară celei a industriei jocurilor video. Radiografiile, ecografiile și alte produse de imagistică au fost, în cea mai mare parte a timpului, realizate într-un format fotografic, adică bidimensional. Însă evoluția din ultimile decenii duce aceste domenii către tridimensional, odată și cu dezvoltarea tehnicilor de tip RMN și CT. Ba chiar auzim astăzi și de ecografie 4D! Conform specialiștilor, această tehnologie oferă, în esență, imagistică 3D dinamică, adică evoluînd în timp. Putem spune că este un fel de reprezentare în continuul spațio-temporal, pentru că vedem atît informațiile tridimensionale spațiale, cît și o evoluție în timp. Este ca și cum am privi un film 3D, care se derulează sub ochii noștri. De aceea, ecografia 4D se mai numește și ecografie 3D în timp real. Diferențele între imagistica 2D, 3D și 4D pot fi văzute, de exemplu, aici.

Conceptul de dimensiune este folosit și în design și nu în urmă cu mult timp, am fost martorii unor schimbări radicale într-o direcție aparent inversă așteptărilor. Apple era cunoscută pentru faptul că folosește reprezentări "aproape reale" ale obiectelor pe care le simulează în aplicațiile lor de macOS și de iOS. În limbaj tehnic, se spune că trendul respectiv de design se numește skeuomorfism, de la cuvîntul grecesc skeuos, care înseamnă container și morphe, care înseamnă formă. Această tehnică de design face ca obiectele virtuale să fie cît mai apropiate de cele reale pe care le reprezintă și nu doar să le sugereze și, de aceea, au un aspect volumetric, adică tridimensional, ca în imaginea de mai jos: Skeuomorfismul din aplicațiile Apple Chiar dacă nu la fel de coerent, Microsoft făcea același lucru cu o bună parte a interfeței Windows, pînă la varianta 7. Skeuomorfismul din iconițele Winwdows Ulterior, ambii giganți ai industriei tech au făcut trecerea către reprezentări bidimensionale — așa-numitul design plat, care mai degrabă sugerează decît să imite. Design skeuomorfic versus design plat

Dar dincolo de aceste exemple, întîlnim conceptul de dimensiune foarte des în viața de zi cu zi. Iată cîteva exemple:

Din punct de vedere formal și ținînd cont de conceptul matematic, deși exemplele de mai sus sînt asociate foarte des cu dimensiunea, vom vedea că, de fapt, primele două exemple sînt greșite. Mai mult decît atît, este vorba despre o confuzie care se face foarte des — de aceea am și inclus-o, iar în acest text vom clarifica și corecta această problemă. Ne propunem, așadar, să înțelegem cît mai corect conceptul de dimensiune, așa cum apare el în contexte abstracte, precum acela al matematicii, dar și prin multiple exemple și contexte care ne arată că noțiunea în sine este una foarte relevantă și în "viața de zi cu zi".

Prezentare abstractă

Facem acum o scurtă prezentare formală a conceptului de dimensiune, pentru că vrem să folosim cîteva dintre cuvintele-cheie care apar într-un fel de definiție a dimensiunii ca să înțelegem conexiunile pe care acest concept le are cu exemplele de mai sus, dar și să formulăm altele.

În sens abstract, dimensiunea a apărut în matematică, dar nu doar în geometrie, unde ne-am gîndi că este "locul ei natural", asociind automat (și greșit!) dimensiunea cu mărimea, întinderea sau măsura unui obiect. Ca o scurtă paranteză, mai multe ramuri ale matematicii (algebra, geometria, statistica și altele) conțin discipline cu numele "teoria dimensiunii", care arată la ce se reduce acest concept atunci cînd este aplicat în domeniul respectiv. Dar există și un alt concept, anume acela de măsură, care vine să generalizeze lungimi, arii, volume... Vom reveni într-un episod ulterior asupra măsurii și vă vom arăta cum ideile de bază pot fi înțelese chiar la nivel de liceu, întrucît ideea în sine a teoriei măsurii este să abstractizeze noțiuni precum lungime, lățime, arie, volum.

Revenim acum la dimensiune. În sens abstract, spunem că o structură, adică o mulțime de obiecte, între care se pot defini și anumite operații matematice abstracte, are dimensiunea d atunci cînd pentru a preciza un anume obiect din acea structură este necesar și suficient să știm exact d caracteristici independente ale sale.

Precum am anunțat, definiția este una abstractă, adică formulată într-un mod foarte general, astfel încît să se potrivească în contexte cît mai largi. Obiectele despre care vorbim pot fi puncte într-un plan sau în spațiu, oameni dintr-o comunitate, matrice cu anumite mărimi, polinoame, structuri fizice sau chimice etc. Mai este important să menționăm că un rol decisiv în această prezentare îl are și structura însăși, anume ce înseamnă că putem face operații matematice cu obiectele care populează acea structură. Însă vom alege să nu intrăm în astfel de detalii în acest episod și facem cîteva trimiteri la bibliografie, cu mențiunea că vom reveni într-un episod ulterior asupra conceptului de structură, așa cum apare el în matematică, fizică, chimie, dar și filosofie. Aici ne concentrăm în continuare pe cele d caracteristici independente ale obiectelor care populează structura a cărei dimensiune vrem să o aflăm. Ne asumăm, astfel, o rigoare scăzută a prezentării, însă esența conceptului de dimensiune nu va avea de suferit.

"n dimensiuni" și coordonate

Înainte de a trece la exemple, mai facem o observație foarte importantă, privitoare la limbaj. Nu este corect să spunem că "un spațiu are n dimensiuni", ci "un spațiu are dimensiunea n". Aceasta deoarece, conform definiției de mai sus, dimensiunea este un număr care se asociază spațiului în ansamblul său. Mai mult, se poate demonstra că niciun spațiu nu poate avea două astfel de numere diferite, adică nu se poate să demonstrăm o dată că un spațiu are dimensiune 3 și printr-o altă metodă, corectă, că are dimensiune 5, de exemplu. Ceea ce se ascunde în spatele acestei expresii, "n dimensiuni", este, de fapt, conceptul de coordonată. Alteori, este pur și simplu confuzia cu noțiunea de măsură. Cînd spuneți, de exemplu, că o foaie de caiet poate fi gîndită ca un obiect cu 2 dimensiuni, faceți una dintre următoarele greșeli:

Exemple

Acum că am dat această definiție destul de abstractă a conceptului de dimensiune, să revedem exemplele de mai sus într-o cheie nouă. Pornim chiar cu situațiile pe care le întîlnim la școală, încă din gimnaziu și pînă la facultate, mai ales că aceste exemple pot fi detaliate și suficient de abstract.

Probabil ați auzit cu toții la școală spunîndu-se că "punctul nu are dimensiune" sau că "punctul are dimensiune zero", fără lămuriri suplimentare. La fel de probabil este și faptul că v-ați "justificat" în sinea voastră această afirmație prin aceea că nu putem măsura un punct, deci nu avem nicio informație de comunicat despre el. Glumind, putem spune că măsurăm bulinuța pe care o desenați cu pixul pe foaie pentru a reprezenta un punct, dar aceasta nu este dimensiunea punctului. Chiar și la fizică se perpetuează această confuzie între dimensiune și măsură, prin lucrul cu așa-numitele obiecte punctiforme. La optică, sursele de lumină sînt punctiforme, pentru a nu ține cont de întinderea suprafeței luminoase. La mecanică, un corp în mișcare este considerat punctiform, pentru a neglija caracteristicile sale geometrice. Însă, așa cum spuneam, aici este vorba despre o confuzie între dimensiune și măsură. Punctul nu are dimensiune sau are dimensiune zero pentru că este tratat ca atare, ca un spațiu, o structură în sine, iar acesta nu poate fi subdivizat. De reținut, de aici, este acest aspect esențial: dimensiunea este o caracteristică a structurii, a spațiului, iar măsura este o caracteristică a obiectelor care populează acel spațiu. Cu această observație, devine clar că punctul nu are dimensiune pentru că, dacă am forța punctul să fie un "spațiu", atunci care ar fi elementele, obiectele sale? Nu există așa ceva, deci nu avem nevoie de nicio informație (de 0 informații, mai precis) pentru a identifica aceste elemente, fiindcă ele nu există. Aceasta este exact definiția dimensiunii și ne arată că, în cazul punctului, avem dimensiune zero. Ca să fim foarte riguroși, adăugăm observația că, în algebră, punctul despre care vorbeam și care are "dimensiune zero" este gîndit întotdeauna ca fiind originea spațiului, originea sistemului de axe (punctul 0 de pe axă, punctul (0,0) din plan, punctul (0,0,0) din spațiul tridimensional ș.a.m.d.). Nu intrăm în detalii, însă un punct precum (1,2,3) nu poate constitui un spațiu, dar originea, da. Despre măsura punctului vom vorbi într-un episod ulterior.

Mai departe, găsim liniile — dreptele, în termeni matematici, pe care le putem gîndi chiar ca axe (de coordonate). Intuiția și informațiile din liceu ne spun că o dreaptă este 1-dimensională. Folosind aceeași argumentație de mai sus, amintim că pentru a găsi dimensiunea, trebuie să gîndim dreapta ca spațiu, nu ca obiect. Acest lucru se face foarte ușor, deoarece obiectele care populează acest spațiu sînt punctele de pe dreaptă. Pentru simplitate, vă puteți gîndi la axa numerelor reale ca o astfel de dreaptă. Mai mult, putem fi și mai preciși și să dăm chiar una dintre operațiile care se pot face cu obiectele acestei drepte. Dacă luăm axa reală ca exemplu, atunci obiectele, punctele sînt numere reale. În contextul dat, va fi suficient să luăm în considerare adunarea (și scăderea) numerelor reale, operație în urma căreia din două puncte se obține un al treilea.

Acum, revenind la contextul "definiției" pe care am formulat-o pentru dimensiune, ne întrebăm de cîte informații avem nevoie pentru a ști precis despre ce punct de pe dreaptă vorbim? Evident, de una singură: numărul real asociat punctului respectiv, în exemplul de mai sus. În general, dacă gîndim orice dreaptă ca o axă, este suficient să-i fixăm un punct pe care să îl numim origine și să alegem o unitate. Atunci, orice alt punct de pe dreapta (axa) respectivă este complet precizat prin distanța (în unități și fracțiuni ale lor) față de punctul fixat, originea. Rezultă, deci, că o dreaptă, privită ca un spațiu, are dimensiune 1.

Următoarea structură este aceea a planului. Din nou, apelăm la un exemplu particular și ușor de înțeles, pe care îl vom generaliza, cel puțin la nivel intuitiv. Să luăm reperul cartezian XOY pe care îl folosim încă din gimnaziu. Ca o mică paranteză istorică, motivul pentru care acest reper se numește cartezian este că unul dintre primii matematicieni care l-au folosit este René Descartes, care purta și numele latinizat de Renatus Cartesius. În prima parte a secolului al XVII-lea, Descartes, împreună cu François Viète, a pus bazele notației algebrice, folosită și în geometrie. Pînă atunci, majoritatea problemelor, inclusiv ecuațiile și problemele de geometrie erau formulate "în cuvinte", "povestit" am putea spune, precum cubul unei cantități, împreună cu de trei ori pătratul său, fără dublul cantității este egal cu 5, expresie care reprezintă ecuația \( x^3 + 3x^2 - 2x = 5 \), iar Descartes este unul dintre primii care au făcut pașii decisivi către această formă pe care o folosim astăzi. El este și cel care a atribuit unui punct din plan coordonatele pe care le numim astăzi abscisă și ordonată, simbolizate generic cu \( (x, y) \). De aceea, sistemul de coordonate XOY îi poartă numele.

Continuăm expunerea exemplului privitor la planul XOY. Din nou, dacă vrem să-i găsim dimensiunea, trebuie să privim planul în sine ca pe un spațiu. Obiectele sale vor fi punctele, precizate cu ajutorul a două coordonate, ca de exemplu, \( P(2, 3) \). Mai mult decît atît, dacă luăm două puncte oarecare, \( (a, b) \) și \( (c, d) \), putem defini operația de adunare a lor pe componente, adică: $$ (a,b) + (c, d) = (a + c, b + d) $$. Ideea principală evidentă este că, pentru a ști exact un punct din plan, este necesar și suficient să știm 2 informații ale sale: abscisa și ordonata. Or acest lucru arată direct faptul că planul are dimensiune 2.

Similar, aproape fără modificări de raționament, obținem că dimensiunea spațiului OXYZ este 3. Dar nu ne oprim aici! Putem obține spații de dimensiune oarecare, folosind, de exemplu, matrice. De exemplu, o matrice cu 2 coloane și 3 linii arată așa: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \). Mulțimea tuturor acestor matrice se notează, în general, cu \( M_{2,3}(\mathbb{R}) \) și se numește mulțimea matricelor cu 2 coloane și 3 linii, avînd elemente reale. Este ușor de văzut, cel puțin la nivel intuitiv, cum această mulțime alcătuiește un spațiu. Elementele, adică obiectele spațiului, sînt exact matrice precum matricea \( A \) de mai sus. Operația de adunare a matricelor este una pe care o putem folosi fără probleme între obiectele acestui spațiu. În plus, pentru a preciza o astfel de matrice, este necesar și suficient să-i știm toate elementele. Rezultă imediat că obținem un spațiu de dimensiune 6! Și, desigur, putem generaliza ușor, obținînd spații de dimensiune \( n \cdot m \), pentru orice numere naturale \( m, n \), cu ajutorul matricelor.

În fizică, deși este mai greu de explicat exact ce este un spațiu sau o structură, mai general, noțiunea de dimensiune este asociată cu cea de grade de libertate. Și aceasta este cunoscută din liceu, de la termodinamică. În cadrul așa-numitei teorii cinetico-moleculare, se consideră că fiecare substanță (lichid, solid, gaz) este alcătuită din atomi, care formează molecule, a căror structură internă este ignorată, în afara numărului de atomi care iau parte la moleculă. Acești atomi sînt modelați ca sfere rigide, pentru moleculele monoatomice, ca haltere rigide în cazul moleculelor biatomice și ca triunghiuri, cu atomii în vîrfuri, în cazul moleculelor triatomice. Molecule în teoria cinetico-moleculară

Apoi, ne întrebăm, dată o astfel de moleculă, de cîte informații avem nevoie pentru a o identifica precis. Ceea ce căutăm, de fapt, este dimensiunea "spațiului" pe care îl descrie substanța. În cazul moleculelor biatomice, adică acela al halterei rigide, ne interesează patru astfel de informații:

Odată avute aceste informații, putem ști precis unde se află molecula (haltera), deci rezultă că o astfel de moleculă biatomică descrie un spațiu cu patru dimensiuni.

Iar apropo de dimensiune patru, revenim la unul dintre subiectele pe care le-am menționat în introducere, anume rezultatul surprinzător al lui Minkowski și Einstein, conform căruia teoria relativității se descrie într-un spațiu de dimensiune 4. În contextul exemplelor și clarificărilor de mai sus, acest rezultat nu mai este nici surprinzător, nici greu de înțeles. Mai precis, teoria ne spune că, pentru a specifica exact un eveniment, avem nevoie de exact 4 informații independente: cele 3 coordonate spațiale unde are loc evenimentul și momentul de timp cînd acesta se întîmplă. Astfel, un eveniment \( E \) s-ar prezenta ca un set de date de forma \( E(x, y, z, t) \). Dacă într-un anume experiment am stabilit originea sistemului de referință față de care facem măsurătorile, atunci putem fi preciși. Suprasimplificînd, să spunem că vrem să precizăm poziția unui obiect de pe masa de lucru. Pentru aceasta, am stabilit drept origine colțul din stînga jos al mesei și unitatea de măsură, centimetrul și spunem că mouse-ul se află pe masă la poziția \( M(12, 15, 0, 12:45) \). Citim această informație deducînd că mouse-ul se află la 12 centimetri dreapta de colțul din stînga al mesei, 15 centimetri mai sus, 0 centimetri înălțime, iar că această poziție este adevărată la ora 12:45.

Cititorii care sînt familiarizați cu teoria relativității vor remarca imediat suprasimplificarea pe care am făcut-o, pentru că unul dintre principalele puncte de atenție ale teoriei este însăși stabilirea unui sistem de referință. În plus, probleme precum precizarea lungimii și a momentului de timp sînt deopotrivă de importante în cadrul acestei teorii. Însă nu este greșit să rămînem cel puțin cu ideea că cele patru dimensiuni despre care vorbesc Einstein și Minkowski înseamnă pur și simplu că un obiect este precizat printr-un cvadruplu de informații: 3 dintre acestea sînt spațiale, iar 1, temporală. Acest lucru face ca spațiul acestor evenimente să fie unul de dimensiune 4.

Încheiem exemplele cu unul aparent dificil, dar vrem să vă convingem că este la îndemînă. Vom construi un exemplu de spațiu infinit dimensional. Pentru aceasta, avem nevoie de alte tipuri de obiecte, anume polinoame. Sînteți, cu siguranță, familiarizați cu ecuații algebrice de forma \( 5x^2 - 3x + 2 = 0 \) sau \( 7x^{12} + 15x^{10} - 2x - 1 = 0 \). O expresie precum cele din stînga egalului se numește polinom, iar gradul polinomului (care dă și gradul ecuației) este cea mai mare putere la care apare nedeterminata (necunoscuta \( x \)). De exemplu, prima ecuație conduce la un polinom de gradul 2, anume \( p_1 = 5x^2 - 3x + 2 \), iar a doua ecuație conduce la un polinom de gradul 12, anume \( p_2 = 7x^{12} + 15x^{10} - 2x - 1 \).

Pentru simplitate, se poate folosi o convenție de notație întîlnită în manualul de clasa a XII-a, prin care un polinom este notat cu un șir de numere reale, presupunînd că numerele din șir corespund coeficienților puterilor nedeterminatei, în ordine crescătoare. Șirul este, în general, infinit, pentru a putea reprezenta orice polinom. De exemplu:

Acum, ignorăm aspectul algebric al spațiului polinoamelor și ne întrebăm direct de cîte informații independente avem nevoie pentru a putea identifica orice polinom? Răspunsul nu poate să fie finit, pentru că, de exemplu, dacă știm doar coeficienții \( 1, 1, 2, 3 \), putem alcătui o infinitate de polinoame cu ei, de diverse grade, deci nu am precizat nimic exact. Rezultă că, pentru a putea scrie orice polinom, avînd orice grad, avem nevoie neapărat de o infinitate de informații, adică de toți coeficienții. În particular, pentru a putea scrie orice polinom de gradul 1, cum forma lui generală este \( (a, b, 0, 0, 0, \dots) \) sau \( a + bx \) avem nevoie de 2 informații (\( a \) și \( b \)). Similar, pentru a putea scrie orice polinom de gradul 2, avem nevoie de 3 informații ș.a.m.d. Dar dacă vrem să scriem orice polinom, indiferent de grad, avem nevoie de o infinitate de informații (cu una mai mult decît gradul, care, însă, poate lua orice valoare, număr natural). Concluzia este că spațiul polinoamelor este infinit dimensional.

Bază și coordonate

Conceptul de bază, ca și acela de coordonată este legat în special de aplicații ale teoriei dimensiunii în geometrie. Ele au sens și pentru alte aplicații, dar în cazul geometriei, putem apela la reprezentări grafice.

În esență, baza unui spațiu este exact o mulțime de informații de care avem nevoie pentru a preciza un obiect, iar într-o bază se găsesc exact atîtea informații cît este dimensiunea spațiului. De exemplu, în cazul planului XOY, care are dimensiune 2, găsim 2 elemente în bază, anume abscisa și ordonata (ca atare, nu ale unui punct în sine). Similar, baza spațiului OXYZ are 3 elemente, anume, folosind terminologia populară, lungimea, lățimea și înălțimea (cota) la care se află un punct. Din nou, este vorba despre aceste concepte ca atare, nu valori particulare.

Coordonatele, simplificînd prezentarea, reprezintă exact valorile pe care le iau elementele din bază. Deci, în cazul planului, dacă baza este mulțimea {abscisă, ordonată} și luăm un punct \( P(2, 3) \), atunci coordonatele sale sînt exact \( (2, 3) \), care au rolurile precizate în bază. În cazul polinoamelor, care am arătat că alcătuiesc un spațiu infinit dimensional, baza poate fi gîndită drept { termenul liber, coeficientul lui \( x \), coeficientul lui \( x^2 \), coeficientul lui \( x^3 \), ...}

Adăugăm și un exemplu din limbajul comun. Discutam deunăzi cu un profesor și a rămas să continuăm discuția prin email sau să ne întîlnim cu o altă ocazie. Profesorul mi-a spus că-mi transmite "coordonatele sale" și mi-a scris pe o foaie adresa de email, precum și numele unei cafenele unde ne-am putea întîlni. Formal, desigur că termenul de "coordonate" a fost folosit abuziv în acest caz, însă ideea de bază este încă adevărată. Adresa de email a profesorului sau numele cafenelei reprezintă informații necesare și suficiente după care aș putea identifica "obiectul" de interes: destinatarul unui mesaj email sau locul unei eventuale întîlniri (pe baza secțiunii despre Einstein și Minkowski, putem comenta că numele cafenelei nu este suficient, pentru că avem nevoie și de momentul de timp în care aceasta s-ar afla acolo). Reținem, totuși, din acest exemplu popular că ideea de coordonate totuși captează esența conceptului de dimensiune; este vorba despre informații necesare și suficiente pentru a identifica precis un obiect (dintr-un anume spațiu).

Concluzie

Motivația principală a acestui episod a fost să simplificăm și să prezentăm într-o manieră cît mai populară conceptul de dimensiune. Una dintre ținte a fost "demistificarea" prezentărilor privitoare la "spații cu mai multe dimensiuni" (chiar o infinitate) și, în același timp, să corectăm și anumite greșeli de exprimare privitoare la acest concept. În același timp, ne asumăm prezentarea ultrasimplificată, pentru că sîntem de părere că ideile de bază spot fi înțelese destul de ușor. Prezentarea riguroasă ar necesita complicații care considerăm că nu-și au locul în aceste texte, însă vă indicăm în bibliografie materiale de algebră și nu numai care să vă ajute în cazul în care doriți să studiați aprofundat și formal conceptul de dimensiune. Nu în ultimul rînd, sîntem mai mult decît bucuroși să discutăm cu voi pe aceste teme, astfel că nu ezitați să ne contactați pentru întrebări sau teme de discuție, mai mult sau mai puțin riguroasă.

Pînă la următorul episod, fiți curioși, puneți întrebări și exersați-vă mintea!




P.S. Întrebările din episod

Vă întrebam în episod dacă puteți da exemple de spații cu 17 dimensiuni, cu 385 sau cu o infinitate. Putem da foarte ușor astfel de exemple, pornind chiar de la tipurile de spații pe care le-am întîlnit în acest episod, anume cele modelate după spațiile geometrice (dreapta, planul, spațiul euclidian), spații de matrice sau de polinoame. Iată propunerile noastre:

De reținut foarte important este că exemplele pe care le-am dat nu sînt unice!. Așa că puteți contribui și voi cu altele, pe care le așteptăm în comentarii, pe Facebook, YouTube sau pe email!




Ultima modificare: 25.12.2021 @ 11:14