Episod 4: Matematica în antichitate

Primele semne

Bun găsit și mulțumim pentru curiozitatea cu care urmăriți podcastul Poligon! Această secțiune este dedicată matematicii în Antichitate, adică acea perioadă din care avem primele dovezi scrise. În general, matematica este privită ca un domeniu al numerelor, mărimilor și formelor. Astfel că, ori de cîte ori se face o descoperire care arată activități umane legate de aceste concepte, ea este asociată cu activități matematice. Însă nu este deloc improbabil ca diferențe de formă și cantitate pe care le asociem astăzi cu concepte geometrice sau numerice să fi apărut pur și simplu ca trăsături vizibile, care țin complet de observabil, de imagine, mai precis. Un animal și o turmă, rotunzimea lunii și liniile drepte ale crengilor unui copac. Cu siguranță că oamenii preistoriei sesizau aceste diferențe, însă este foarte îndrăzneț să punem aceste constatări pe seama vreunui simț matematic. Abstract vorbind și privind lucrurile din acest unghi, este foarte probabil să nu existe un „inventator“ al conceptului de număr, ci pur și simplu acesta să dateze din zorii civilizației umane, legat strîns de practic, de vizual.

Alte elemente pe care le putem lega de matematică sînt motivele geometrice, identificate în peșteri sau pe decorațiunile de pe diverse obiecte. Prin ingeniozitatea lor, ne arată în mod clar că acele forme au fost premeditate. Avem de-a face cu simetrii, rotații și translații, care pot fi observate foarte bine pe vasele ce au fost scoase la iveală de arheologi în ultimele secole. Însă, așa cum spuneam mai devreme, în lipsa unor documente scrise care să arate că acele desene au fost făcute ținînd cont de principii geometrice, nu ne rămîne decît să concluzionăm că alegerea lor a fost pur estetică, fără niciun substrat abstract.

Desene rupestre cu motive geometrice

Matematica, în adevăratul sens al cuvîntului, apare odată cu conceptul de număr și mai exact, cu inscripționarea lui, cu păstrarea pentru evidență și uneori calcule. Numărarea în grupuri de cîte 5 este evident legată de degetele pe care le avem. Cînd acestea s-au dovedit insuficiente, oamenii au apelat la resurse externe, precum pietre, bețe, oase ori bucăți de argilă. Una dintre cele mai vechi astfel de descoperiri are aproximativ 35 000 ani vechime și conține 55 crestături pe un os de babuin, grupate în 2 serii, de 25 și 30 crestături. Mai mult, fiecare serie avea crestăturile grupate cîte 5.

Osul Ishango
Un alt exemplu foarte des întîlnit în cărțile de istoria matematicii este legat de ciobanii sau proprietarii de oi care trebuiau să păstreze evidența a sute sau mii de ovine, iar pentru a face acest lucru, se foloseau de jetoane cu forme diferite pentru a descrie un anumit număr de oi. Jetoanele erau păstrate în boluri de lut închise ermetic, pe care în timp se inscripționau desenele jetoanelor, pentru a ști ce conține fiecare bol. Ulterior, această metodă se extinde și pentru a număra alte tipuri de bunuri, precum bijuterii, textile, grîne.
Vas mesopotamian cu inscripții cuneiforme

Mesopotamia

Prima civilizație antică de la care ne-au rămas suficiente detalii despre cunoștințele matematice este cea mesopotamiană, o cultură care s-a dezvoltat pe teritoriul Irakului de astăzi, în urmă cu aproximativ 5-6000 ani. Această cultură este uneori numită și babiloniană, dar Babilonul a fost doar unul dintre orașele importante ale regiunii mesopotamiene.

Harta Mesopotamiei în jurul anului 1200 î. e. n.
Mesopotamienii iubeau jocurile de societate, iar printre cele mai populare este strămoșul tablelor, practicat la scară largă, de copii și adulți și care necesita minime abilități de a jongla mental cu combinațiile de numere, fie ele și doar cele de pe fețele zarurilor. În anii 1920, s-au descoperit fragmente de zaruri, care au fost asociate cu așa-numitul „Joc regal din Ur“, practicat în jurul anului 2600 î. e. n. și care folosea zaruri piramidale.
Jocul regal din Ur

Deoarece mesopotamienii scriau pe tăblițe de lut, cu bețe ascuțite la vîrf (dînd naștere scrierii cuneiforme), acestea s-au păstrat foarte bine și avem multiple dovezi despre cunoștințele lor matematice. Calculele mesopotamienilor se bazau pe sistemul de numerație sexagesimal, ceea ce înseamnă că oamenii acelor vremuri erau capabili să lucreze cu ușurință cu tabla înmulțirii pînă la 60, așa cum noi astăzi sîntem familiarizați cu tabla înmulțirii pînă la 10. Practic, cifrele elementare pe care le folosim astăzi, de la 0 la 9, și cu care alcătuim orice număr, în cazul mesopotamienilor erau primele 60 de numere, de la 1 la 60 (zero fiind o descoperire mult mai tîrzie). Sînt mai multe ipoteze care pretind că explică de ce au ales mesopotamienii baza 60, unele dintre ele fiind legate de astrologie, dar majoritatea nu au o substanță care să le dea credibilitate. Cel mai probabil, motivul era unul foarte practic, anume acela că dacă se număra în „unități“ de cîte 60 de elemente, acestea se puteau divide în cel puțin 10 moduri, ținînd cont de divizorii lui 60, anume 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 și 30. Pînă în zilele noastre am păstrat urme ale calculului sexagesimal în exprimarea orei și a unităților de măsură a unghiurilor.

Una dintre primele variante ale numerelor cuneiforme

În prima parte a istoriei acestor popoare se foloseau notațiile numerice prin repetare a simbolurilor. Astfel, pentru a scrie numărul 234, se repeta de 2 ori simbolul pentru 100, de 3 ori simbolul pentru 10 și de 4 ori simbolul pentru 1. Sistemul sexagesimal îngreuna această scriere, pentru că descompunerea trebuia făcută în baza 60, precum explicăm mai jos. Dezvoltarea importantă vine prin faptul că mesopotamienii au fost prima cultură umană care a încercat să introducă notația pozițională. Astfel, înțelepții vremii și-au dat seama că cifrele pot să aibă semnificații diferite prin simpla lor poziție în scriere. Se trece, așadar, de la o scriere cu multe simboluri repetate la una în care numerele își iau valorile prin ordinea de plasare a cifrelor. Ca o curiozitate, însă, scrierea cuneiformă rămasă din acest spațiu ne indică faptul că mesopotamienii nu aveau numărul 0, iar pentru a-l reprezenta, pur și simplu lăsau un spațiu liber. De aceea, spre exemplu, numerele 33 și 303 sau, mai rău, numerele 33, 330, 3300, 33000 etc., sunt destul de asemănătoare în tăblițele de lut ale mesopotamienilor, deoarece ei considerau că valorile exacte se pot deduce din context.

Descompunerea sexagesimală, cum spuneam, era ceva mai dificil de făcut, față de descompunerea zecimală cu care sîntem obișnuiți astăzi. În același timp, acest lucru arată o dată în plus gradul de sofisticare și de înțelegere avansată a aritmeticii din partea mesopotamienilor. Să dăm cîteva detalii. Astăzi — și oricînd se folosește sistemul de numerație zecimal, în care cifrele elementare sînt cele de la 0 la 9, iar toate numerele se formează folosindu-le pe acestea — dacă avem un număr precum 1523, el se înțelege folosind puteri ale lui 10. Concret, ne raportăm la acest număr astfel: \( 1523 = 1 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 1 \), lucru care se vede și din modul în care denumim acest număr (o mie, cinci sute, două zeci, trei [unități]). Însă în cazul mesopotamienilor, puterile lui 10 erau puterile lui 60, iar cifrele elementare erau de la 1 la 59 (cu 0 adăugat mai tîrziu). Specialiștii în istoria matematicii notează aceste numere cu două tipuri de zecimale, dacă ele aveau și o parte fracționară (deoarece știm că mesopotamienii lucrau și cu fracții). Astfel, un număr notat ca 23,52 înseamnă: \( 23 \cdot 60 + 52 \cdot 1 \), adică 1432, iar numărul 1;23,52 înseamnă 1,1432. Puteți realiza imediat cît de repede se putea ajunge la numere mari, deoarece \( \cdot 60 \cdot 60 \) este deja 3600, deci un număr ca 12,52,11,5 însemna: \[ 12 \cdot 60^3 + 52 \cdot 60^2 + 11 \cdot 60 + 5 = 2 779 865 \]

Erau mai multe convenții pe care mesopotamienii le făceau, pe lîngă omisiunea lui zero și lăsarea unui spațiu liber. O alta era faptul că puterile din descompunere puteau fi și fracționare și, din nou, se „deducea din context” valoarea reală. Așadar, numărul 23,52 putea să însemne și \( 23 \cdot \dfrac{1}{60} + 52 \cdot 1 \), iar numărul 12,52,11,5 putea să însemne și: \( 12 \cdot \dfrac{1}{60^3} + 52 \cdot \dfrac{1}{60^2} + 11 \cdot \dfrac{1}{60} + 5 \). Însă nu putem să nu ne închipuim că, ceea ce pentru noi pare complicat și ambiguu, pentru mesopotamieni putea fi pur și simplu natural. Istoria ne arată că au aplicat cunoștințele matematice cu succes considerabil, deci această deducere din context le funcționa foarte bine.

Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea erau stăpînite de locuitorii acestor ținuturi, iar utilizarea numerelor mari i-au ajutat să se priceapă foarte bine și la ridicarea la putere, la rădăcini pătrate sau chiar rădăcini cubice. O caracteristică importantă a matematicii mesopotamiene este că se baza foarte des pe tabele de valori. O bună parte a tablițelor de lut cu inscripții cuneiforme descoperite în zilele noastre conțin tabelate înmulțiri, împărțiri, calcule cu puteri și chiar logaritmi! Ba chiar, așa cum ne arată matematicianul americano-austriac Otto Neugebauer, s-au găsit dovezi în problemele formulate de mesopotamieni care arată că aceștia puteau să rezolve și ecuații de gradul al doilea, precum și cazuri particulare ale ecuațiilor de grad 3 sau 4!

În ce privește geometria, mesopotamienii o vedeau ca pe un fel de „aritmetică vizualizată“, așa cum ne arată unele scrieri. În 1922, s-a descoperit o colecție de tablete, numită Plimpton și care se află astăzi la Columbia University din Statele Unite. Pe una dintre tablete, Plimpton 322, care este parțial distrusă, se găsesc numere inscripționate pe 3 coloane. La prima vedere, acestea par înregistrări contabile, însă o inspecție mai atentă arată că ele conțin, de fapt, triplete pitagoreice!

Tableta Plimpton 322

Apoi, în 1936, s-au descoperit tablete care, în stilul caracteristic, tabelează valori. La o inspecție atentă, s-a constatat că aceste valori corespund ariilor poligoanelor regulate și rapoartelor dintre ele. Mai mult, apare și raportul dintre aria unui hexagon regulat și aria cercului circumscris, de unde se deduce o valoare de \( 3 + \dfrac{1}{8} \) pentru π.

Egiptul antic

Matematica egipteană este, astăzi, creditată cu cea mai mare influență în originea și primele dezvoltări ale geometriei. Părintele istoriei, Herodot, în urma unei călătorii în Egipt în secolul 5 î. e. n., notează că regele ținuturilor respective folosea o metodă prin care măsurau cu o sfoară terenurile inundate de Nil pentru a plăti despăgubiri precise proprietarilor. Herodot consideră că această practică marchează începuturile geometriei și adaugă că pe această filieră a pătruns și în Grecia. Ca să glumim puțin, birocrația a stat la baza dezvoltării matematice a egiptenilor. Funcționarii egipteni calculau ariile terenurilor agricole pentru a colecta taxe, iar în funcție de fluxul și refluxului Nilului, măsurătorile au suferit modificări și au fost perfecționate constant, mai ales că aveau de a face cu suprafețe cu forme neregulate.

Spre deosebire de mesopotamieni, egiptenii scriau pe papirus, astfel că multe dintre operele lor s-au pierdut, deteriorate din cauza fragilității materialului. În plus, deși s-au descoperit mai multe papirusuri în diverse expediții arheologice, acestea au fost imposibil de citit pînă în 1822, cînd francezul Jean-François Champollion, împreună cu fizicianul britanic Thomas Young și alții au reușit să întocmească un prim dicționar pentru descifrarea hieroglifelor.

Jean-François Champollion și o pagină din manuscrisul său despre hieroglife

Unul dintre cele mai cunoscute papirusuri pe care le avem astăzi este numit papirusul Rhind sau papirusul lui Ahmes, după numele scribului care s-a semnat pe el. Papirusul a fost datat în jurul perioadei 2000-1650 î.e.n. și ne arată că egiptenii lucrau cu sistemul de numerație în baza 10, pe care îl folosim și astăzi.

O mică parte a papirusului Rhind

Egiptenii aveau drept operație predominantă adunarea, dar foloseau și fracții. Dacă mesopotamienii păstrau multe valori tabelate, și egiptenii aveau papirusuri cu calcule gata făcute, pe care le foloseau apoi în alte probleme. Apar, de exemplu, descompuneri ale unor fracții. Însă este interesant faptul că egiptenii dădeau prioritate fracțiilor de forma \( \dfrac{1}{n} \), dar un loc special îl joacă fracția \( \dfrac{2}{3} \), care avea chiar și un simbol special. Papirusul lui Ahmes conține, de exemplu, și o listă de descompuneri ale fracțiilor de forma \( \dfrac{2}{n} \), cel puțin ingenioasă, anume: \[ \dfrac{2}{n} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{3n} + \dfrac{1}{6n} \]

Nu este clar de ce au ales o astfel de scriere în loc de \( \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} \), dar un motiv practic ar putea fi că doreau neapărat să descompună în fracții mai mici decît \( \dfrac{1}{n} \). O interpretare mitologică a fracțiilor a fost promovată ca explicație de mai mulți istorici în ultimul secol. Potrivit legendei, Horus, zeul șoim, și-a pierdut ochiul în lupta sa cu Seth, care l-a împărțit în bucăți, iar unitatea ochiului a fost refăcută de Hathor. Pictograma ochiului lui Horus a fost astfel descompusă grafic și explicată ca fiind o sumă de hieroglife ce ar coincide cu simbolurile pentru fracții precum \( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \dfrac{1}{32}, \dfrac{1}{64} \). Teoria a fost combătută însă tot mai mult în ultimele decenii.

Fracțiile care ar alcătui Ochiul lui Horus

O caracteristică deosebită a papirusului lui Ahmes este că, așa cum notează scribul, a fost gîndit ca un fel de manual școlar, în sensul foarte general. Un tratament cu adevărat remarcabil este aplicat ecuațiilor. Întîi de toate, majoritatea problemelor din papirusurile egiptene se bazează pe situații practice, precum măsurătoarea terenurilor, recoltelor, construcțiilor. Însă apar și ecuații algebrice, într-o formă în care, putem spune, găsim una dintre primele gîndiri abstracte în sensul necunoscutelor unei ecuații. În astfel de probleme, apare o cantitate numită „aha”, care s-ar traduce foarte general prin „grămadă”. La fel de remarcabil este și modul de rezolvare a acestor ecuații: se pornește cu o valoare oarecare pentru „aha”, se calculează înlocuind în ecuație și, din diferența față de valoarea care trebuia obținută, se află soluția corectă. În plus, după obținerea rezultatului, Ahmes face verificarea! Avem, astfel, o primă apariție a unei demonstrații matematice prin verificare!

Aproximările sunt întîlnite frecvent în cultura matematică egipteană, ceea ce subliniază și mai mult natura practică, sau mai degrabă experimentală a matematicii lor. Spre exemplu, egiptenii susțineau că aria unui cerc de diametru x este egală cu aria unui pătrat cu latură x-1. Problemele de geometrie ale egiptenilor, regăsite în Papirusul Ahmes, ne arată însă raționamente de rezolvare remarcabile. De pildă, una dintre probleme calculează aria unui triunghi isoscel prin înmulțirea a jumătate din lungimea bazei cu înălțimea triunghiului. Rezolvarea argumentează faptul că triunghiul isoscel poate fi împărțit în două triunghiuri dreptunghice. Astfel de exemple sunt propuse și pentru trapeze, dreptunghiuri și alte patrulatere.

Într-un papirus datat la aproximativ 1500 de ani după Ahmes, numit Papirusul lui Edfu (din nou, după scribul care semnează lucrarea), se dau exemple de patrulatere și se remarcă faptul că aria unui patrulater oarecare este produsul mediilor aritmetice ale laturilor opuse. Rezultatul este greșit, însă ceea ce este cu adevărat remarcabil este faptul că Edfu a dedus formula dintr-o alta care afirma că aria unui triunghi este produsul între media aritmetică a două laturi și jumătate din a treia latură. Nu doar deducția este marea descoperire a lui Edfu, ci mai ales faptul că pare a fi una dintre primele utilizări a lui zero pentru o cantitate inexistentă, triunghiul fiind gîndit ca un patrulater cu o latură egală cu zero!

Iar fiindcă majoritatea asociem cultura egipteană cu piramidele și am menționat oricum că acest popor a fost recunoscut pentru dezvoltarea geometriei, să mai adăugăm că în papirusul de la Moscova, numit și papirusul Goleșnicev, după numele celui care l-a cumpărat în secolul XIX și datat aproximativ în 1800 î. e. n., se găsește o problemă de geometrie de o importanță deosebită. Este desenat un fel de trapez dreptunghic, însă conform calculelor care urmează, se pare că figura reprezenta, de fapt, un trunchi de piramidă, căruia i se calculează volumul și calculele sînt corecte! Mai mult, scribul chiar adaugă la finalul calculelor observația „Vezi, ai găsit corect!”, ceea ce ne arată că formula sau măcar metoda de calcul era cunoscută, iar aceasta este una dintre primele apariții corecte a unei probleme de geometrie în spațiu.

Un trunchi de piramidă în papirusul de la Moscova

China antică

Matematica antichității nu trebuie să excludă comunitățile islamice și nici India, deoarece și aceste culturi aveau cunoștințe științifice importante. Contribuțiile acestor spații se vor dovedi mult mai vizibile în Evul Mediu, cînd Europa pare că stagnează din punct de vedere matematic. Totuși, am vrea să menționăm și cîteva descoperiri remarcabile din antichitatea chineză și indiană.

Matematica era un domeniu important pentru chinezi, ca dovadă că în timpul dinastiei Zhou (1122-256 î.e.n.) era una dintre cele șase arte studiate de către studenți, alături de discipline precum muzică sau caligrafie.

Una dintre primele scrieri chineze care au supraviețuit s-a dovedit greu de datat, însă experții o plasează fie în jurul anului 1200 î.e.n., fie pe la 300 î.e.n. Această lucrare conține în special calcule astronomice, dar și alte elemente de geometrie, legate de triunghiuri dreptunghice și formule similare teoremei lui Pitagora.

O altă lucrare din aproximativ aceeași perioadă este cartea „Cele 9 capitole ale artei matematice”. Asemenea babilonienilor și egiptenilor, chinezii adunau probleme din domenii diverse. Cartea conține 246 probleme, din agricultură, inginerie, taxe, ecuații și proprietăți ale triunghiurilor dreptunghice. Din problemele înscrise acolo, se deduce că poporul chinez stăpînea tehnici matematice diverse, precum regula de 3 simplă, radicalii de ordin 2 și 3 și rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, folosind atît numere pozitive, cît și negative (chiar dacă acestea din urmă nu erau acceptate ca soluții, ci doar ca numere intermediare, pe parcursul rezolvării). Probabil că ne-ar fi rămas mai multe scrieri de la chinezi dacă în secolul al 3-lea î.e.n. împăratul chinez Qin nu ar fi ordonat arderea tuturor cărților. Informațiile referitoare la cunoștințele matematice au fost recompuse din alte surse, precum proiectele civile.

O pagină din „Cele 9 capitole ale artei matematice“

Tot de la poporul chinez avem și abacul, ca instrument de calcul. Acesta datează din jurul secolului al 4-lea î.e.n., iar numele provine cel mai probabil din cuvîntul „abq”, care înseamnă „praf”, arătînd că este o metodă de a înlocui calculele în nisip pe care le făceau chinezii. Abacul este doar una dintre dovezile că poporul chinez avea abilități practice strîns legate de calcule aritmetice.

Un abac

Numeralele chineze aveau cîndva forma unor bețișoare, repetate și aranjate în diverse forme, pentru că aproape la fel se și calcula: folosind bețișoare. Specialiștii chiar au denumit aceste scrieri „rod numerals”, adică „numere-băț”. Tot din această sursă știm și că nu era nicio problemă pentru chinezi să folosească numere negative, deoarece s-au găsit 2 tipuri de bețe: roșii pentru numere pozitive și negre, pentru numere negative. Despre utilizarea numerelor negative se crede că erau folosite constant în primul secol e.n., adică cu cîteva sute de ani înainte ca civilizația indiană să facă acest lucru.

Cîteva exemple de numere-băț

Din antichitatea chineză ne-au rămas și numele a doi dintre matematicienii vremii, Liu Xin și Zhang Heng, care au trăit în secolul I e.n. Aceștia s-au remarcat prin faptul că au aproximat destul de fidel valoarea lui π, la 3.154, mult mai bine decît predecesorii lor. Ulterior lui Liu Xin și Zhang Heng, Liu Hui a reușit să calculeze ariile poligoanelor cu 3072 de laturi și a rafinat calculele pentru π ajungînd la o valoare de 3.14159.

India antică

În ceea ce privește India, trebuie se menționăm că în prima parte a antichității, majoritatea tradițiilor acestei zone circulau pe cale orală. Cel mai vechi document descoperit datează din primul mileniu î.e.n., fără a putea fi datat exact. Acesta este scris într-o formă similară scrierilor religioase și se numește Sulbasutra, unde „sulba” înseamnă „măsurătoare”, iar „sutra” era, în general, o colecție de reguli, legi, proceduri sau aforisme. Sulbasutra a fost creată probabil în jurul anului 800 î.e.n., dar cunoștințele identificate în această culegere erau deja formulate de mai multă vreme. Găsim în Sulbasutra probleme de geometrie, precum și triplete pitagoreice ca (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (12, 35, 37). Tot în Sulbasutra sunt detalii matematice utile construcției de altare vedice, cu toate detaliile aferente. Proiectele unor astfel de altare se regăsesc și în alte lucrări precum Satapatha Brahmana (circa 2000 î.e.n.) sau Taittiriya Samhita (circa 3000 î.e.n.).

O mică parte din Sulbasutra

Alte scrieri matematice indiene își au originile în astronomie, precum Surya Siddhanta (Sistemul Soarelui), unde găsim multiple influențe grecești, însă infuzate cu elemente de folclor hindus. Pentru rezolvarea problemelor de astronomie, se folosesc elemente de trigonometrie, care am putea crede că sînt influențate de Ptolemeu și cultura greacă, însă indienii au făcut modificarea substanțială de a folosi în calcule jumătăți de unghiuri și de corzi. Cu această ocazie, au ajuns foarte aproape de definiția funcției sinus din zilele noastre, aceasta fiind principala contribuție matematică a seriei de cărți Siddhanta.

Un exemplu de calcul trigonometric, așa cum apare în Surya Siddhanta



După cum am putut vedea civilizațiile menționate prezintă elemente comune, însă doar în puține cazuri se poate demonstra sau presupune că acestea s-au influențat reciproc. De cele mai multe ori este vorba de o evoluție independentă a culturii lor matematice, ceea ce face cu atît mai fascinant modul în care știința s-a dezvoltat în antichitate în aceste spații geografice distincte.

Pînă la următorul episod, fiți curioși, puneți întrebări și exersați-vă mintea!

Bibliografie și lecturi suplimentare




Ultima modificare: 25.12.2021 @ 11:14