Episod 1: Matematica naturală...
metaforic vorbind

Salutare și mulțumim pentru curiozitatea cu care ne urmăriți podcastul și accesați acest text suplimentar!

Tema episodului curent este compararea limbajului natural cu limbajul formal, concentrîndu-ne pe aspectele cognitive. De fapt, este o exprimare pretențioasă pentru o temă pe cît de simplă, pe atît de fascinantă. Ne interesează, deci, în ce mod putem înțelege formulări abstracte, complexe, complicate, bazîndu-ne doar pe cunoștințele naturale. Vom vedea, astfel, că sîntem ajutați aproape automat de creier, care face unele legături și reduceri ale formulărilor abstracte pe care le are de procesat și ne "livrează" cel puțin ideile principale.

Dar înainte să ajungem la aspecte cognitive, să lămurim cîteva definiții. Mai bine zis, cîteva explicații sau descrieri, pentru că nu vrem să intrăm aici în rigoarea și rigiditatea unui curs ori a unui manual.

Limbajul natural și limbajul formal

Limbajul natural cuprinde totalitatea limbilor pe care le cunoaștem sau chiar numai a cuvintelor individuale. Ideea principală este că prin "limbaj natural" înțelegem toate cuvintele cu care vă întîlniți în mod curent. Este limbajul pe care îl auzim la știrile TV, îl citim în romane, îl auzim în filme, pe stradă ș.a.m.d. Însă trebuie spus că el conține atît cuvinte colocviale, precum "masă", "casă", "pîine", "școală", dar și cuvinte tehnice ori științifice, cum sînt "teoremă", "mezon", "hidrofluorocarbură", "ecograf" și altele. Același lucru este valabil și dacă vorbim alte limbi: limbajul natural conține totalitatea cuvintelor pe care le întîlnim în mod curent, fie "în viața de zi cu zi", fie în contexte deosebite, precum la școală, în cărți de științe, la locul de muncă etc.

Limbajul formal conține termeni specifici, de cele mai multe ori utilizați exclusiv într-un anume domeniu. În plus, în multe cazuri, limbajul formal conține și un alfabet specific. De exemplu, o propoziție în limbajul formal al matematicii — mai bine zis, al logicii matematice — este \( \forall x \in A, \exists y \in B : p \to q \). Observăm în acest exemplu un alfabet specific și, în același timp, o clară specializare a limbajului: o astfel de propoziție nu mai este folosită în afara domeniului logicii matematice. În general, există criterii foarte clare după care un limbaj atît de specializat este sau nu un limbaj formal. Trebuie să mai facem și distincția între a avea un limbaj formal și doar o codificare a unui limbaj natural existent. De exemplu, alfabetul Morse, care poate fi folosit pentru a formula cuvinte și expresii doar cu linii și puncte nu alcătuiește un limbaj formal, ci este doar o codificare a limbajului natural. Similar este cazul multor cifruri și codex-uri, precum manuscrisul Voynich.

Cele mai importante componente pe care trebuie să le aibă orice limbaj, natural sau formal, sînt alfabetul, sintaxa și semantica. Alfabetul conține totalitatea simbolurilor care pot fi folosite pentru a forma cuvinte, de cele mai multe ori prin simpla alăturare (numită tehnic concatenare). Pentru limba română, de exemplu, alfabetul este alcătuit din litere, cifre și semne de punctuație (incluzînd spațiul).

Sintaxa conține regulile după care o înșiruire de simboluri din alfabet este sau nu un cuvînt acceptabil în acel limbaj. Dacă avem în vedere în continuare exemplul limbii române, trebuie să facem o distincție clară între sintaxă și ortografie. De exemplu, regulile ortografice ne spun că un cuvînt precum "noștrii" nu este corect format, însă din punct de vedere sintactic, cuvîntul este corect. Regulile de sintaxă ale limbii române spun, în mare, că un cuvînt nu poate fi alcătuit decît din simboluri din aceeași categorie (omitem, pentru simplitate, cuvintele împrumutate ad litteram, precum "Qur'an" sau "O'Connor" ori regulile privitoare la majuscule): numai litere, numai punctuație sau numai cifre. Astfel, cuvîntul "noștri1" sau "Adrian_Manea" sînt cuvinte neacceptate din punct de vedere sintactic.

Într-un limbaj formal precum cel al matematicii, cuvintele pot fi, de exemplu, \( \partial f, \sqrt[3]{5}, \lnot p, \displaystyle\int_a^b f(x) dx \), folosind alfabetul specific. Un cuvînt matematic incorect format din punct de vedere sintactic este, să zicem, \( \displaystyle\int_a )( f \).

Dacă sintaxa se ocupă cu "forma" cuvintelor, semantica este responsabilă de "fondul" lor, am putea spune. Tehnic și simplificat, semantica este cea care definește sensurile cuvintelor. În lipsa regulilor semantice, orice înșiruire de simboluri din alfabet care este corectă sintactic (eventual, și ortografic) nu înseamnă nimic, este doar ceva la care ne putem uita, însă nu transmite nicio informație, în afară de forma vizuală, auditivă sau tactilă, în funcție de modul în care interacționăm cu cuvîntul respectiv. Altfel spus, simplificat, semantica este cuprinsă în informațiile pe care le găsim în dicționare. Aici includem atît sensurile proprii, cît și cele figurate ale unui cuvînt, deci și cuvintele polisemantice (cu mai multe sensuri), și interpretările literare. Expresia "plopii fără soț" are o semantică bine definită, chiar dacă ea include un cuvînt sau o sub-expresie cu mai multe sensuri: "fără soț" înseamnă atît "necăsătorit(ă)", cît și "impar".

Mai adăugăm observația că în școală, în afară de ortografie, mai studiem și gramatica. Fără să intrăm în detalii, menționăm doar că în majoritatea definițiilor, semantica se ocupă cu sensurile cuvintelor individuale numai, în timp ce gramatica conține reguli care să ne ajute să formăm propoziții. De exemplu, o regulă gramaticală din limba română este că nu se scrie niciodată virgula între subiectul și predicatul unei propoziții. Astfel, propoziția "Ana, are mere." este greșită din punct de vedere gramatical, deși sintaxa propoziției este corectă, iar semantica fiecărui cuvînt (precum și a întregii propoziții) este clară și bine definită.

Dacă vrem să ne plasăm în afara semanticii, putem da exemple de cuvinte care, deși sînt corecte sintactic, nu au o semantică. Literatura abundă de astfel de cuvinte, precum "trimbulind" (Nichita Stănescu) sau "înmorit" (Nina Cassian). Dar putem da exemple și mai la îndemînă. Sintaxa ne împiedică să folosim mai mult de două litere identice consecutive (și chiar și acestea pot apărea numai în cazuri foarte rare), dar un cuvînt precum "abcd" este un contraexemplu de semantică foarte bun și simplu. El nu are nici măcar aparența sensului, cum este cazul cuvintelor care apar în operele literare de mai sus.

În cazul unui limbaj formal, semantica este strîns legată de citirea simbolurilor, iar abia apoi de înțelegerea lor. De pildă, în matematică, semantica este cea care spune că simbolul \( \in \) înseamnă apartenență și, prin extensie, dă sensul pe care îl cunoaștem propoziției \( 5 \in \mathbb{N} \). De aceea, cuvîntul \( 4 \sqrt[5]{ \ } \) nu este corect semantic: interpretarea simbolului \( \sqrt{ \ } \) este de o funcție (radical), care trebuie să primească argumentul în dreapta, sub "acoperișul" ei. Un exemplu mai sofisticat este dat de nedeterminările din analiza matematică. Însuși termenul de "nedeterminare" arată că astfel de expresii nu sînt definite semantic, deși sintactic ele sînt corecte: \( 0^0, \infty^0, 1^\infty \) etc.

Un lucru remarcabil este faptul că, dacă limbajul natural este, în mod evident, dependent de cultură — fiecare popor avînd propria limbă și chiar dialecte ale aceleiași limbi — există diferențe culturale și în cazul limbajului formal al matematicii! În unele țări arabe, inclusiv matematica este scrisă de la dreapta la stînga sau mai bine zis, în oglindă, ca în exemplele din imaginea de mai jos:
Notații matematice în oglindă
Imaginea este preluată de pe pagina de Wikipedia care prezintă variațiile în notația matematică din țările arabe. Deosebirea este semnificativă chiar și în ce privește concepte matematice fundamentale, precum axa numerelor reale. Unele țări arabe o desenează de la dreapta la stînga, astfel că sensul crescător este invers față de cel din educația occidentală. Această distincție va deveni foarte importantă într-unul dintre exemplele pe care le vom prezenta mai jos.

Metafore conceptuale

Ajungem acum la subiectul central al acestui episod: teorii cognitive privitoare la achiziția și înțelegerea limbajului tehnic și chiar a celui formal. Subliniem încă de la început că vom prezenta teorii, majoritatea dezvoltate de cîteva decenii și pentru care se construiesc tot mai multe experimente care să le testeze, însă niciuna dintre ele nu este încă unanim acceptată în comunitatea științifică. Chiar și așa, considerăm că prezentarea lor, la un nivel accesibil, este binevenită, deoarece elementele și legăturile care alcătuiesc aceste teorii sînt nu doar fascinante, dar și, într-un anume sens, "la îndemînă". Sîntem cu toții conștienți de aceste conexiuni, însă nu mulți le-am articulat atît de coerent pentru a alcătui o teorie. Un alt aspect remarcabil este faptul că aceste teorii sînt inspirate din tehnici literare, ceea ce este deloc surprinzător, întrucît literatura este primul mediu în care întîlnim semnificații figurate ale cuvintelor, pentru care trebuie să ne folosim activ imaginația și creativitatea pentru a le înțelege.

Prima dintre aceste teorii se numește teoria metaforelor conceptuale, formulată, printre alții, de lingvistul american George Lakoff, împreună cu colaboratorii săi, filosoful Mark Johnson și psihologul Rafael Nuñez. Conform acesteia, creierul ar putea să folosească scurtăturile pe care le aplică atunci cînd înțelege o metaforă dintr-o poezie sau un roman pentru a procesa și construcții din matematică sau logică.

Din punct de vedere istoric, metafora a apărut prima dată în secolul al III-lea î. Hr., în lucrarea Poetica a lui Aristotel. În această lucrare, sensul metaforei era acela de transfer al semnificației unui cuvînt către un altul. Etimologia înseamnă exact asta, transfer. Scrierea greacă, μεταφέρω, arată particulele "meta" ("în afară") + "phero" ("a purta"), adică ceva care se poartă pe dinafară, se transferă astfel. Ulterior, retorul roman Quintilian (secolul I d. Hr.) spune că metafora este o scurtătură pentru analogie, iar de aici încolo începe "istoria modernă" a metaforei așa cum o cunoaștem astăzi, anume mai curînd prin analogie decît prin transfer complet. Expresia "rîu de foc" pentru lavă se referă la similaritatea curgerii lavei, ca un rîu. (Putem argumenta, desigur, și că este vorba despre un transfer de proprietăți: curgerea lavei este exact același tip de proprietate precum curgerea unui rîu.)

În cadrul științelor cognitive, astăzi, metafora (cognitivă) are drept sinonime analogia sau termenul folosit de lingvistul francez Gilles Fauconnier, idestezie. Acesta din urmă arată faptul că într-o astfel de metaforă se combină mai multe idei. Iată un exemplu edificator din limbajul natural. În formularea lui Lakoff, metafora este "up is better/more", adică avem unele expresii care folosesc indicații privitoare la direcție cu un sens figurat: o indicație în sus înseamnă o creștere sau ceva bun, iar o indicație în jos înseamnă o scădere, sau ceva rău. Astfel, avem expresii precum:

Aceste expresii sînt la îndemînă și ușor de înțeles, însă ce este remarcabil e faptul că ele sînt procesate "automat" în creier. Chiar dacă, poate, nu le-am întîlnit niciodată, știm exact la ce se referă, eventual din alte exemple mai cunoscute, însă care sînt tot metaforice.

Lakoff și Nuñez arată, în cartea lor Where Mathematics Comes From (vezi bibliografia) că am putea folosi analogii similare chiar și pentru construcții matematice. Ele se încadrează în așa-numitele "scheme conceptuale", prin care se arată că putem folosi chiar experiențe practice, concrete, de zi cu zi pentru a construi metafore care să ne clarifice expresii matematice. Iată cîteva dintre cele mai cunoscute exemple:

Metonimia din algebră

Un alt exemplu de tehnică pe care o putem folosi pentru a înțelege concepte abstracte, preluat din literatură, este metonimia. Prin definiție, aceasta este o tehnică literară ce se bazează pe substituția particularului pentru general sau, cum o numesc Lakoff și Nuñez, o construcție a rolurilor. În română, de exemplu, expresia "Românul s-a născut poet." este o metonimie, deoarece nu se referă la un anume român (poet), ci la poporul român în general. Așadar, se substituie generalul (poporul) prin particular (un român). Sau, în formularea cu roluri, cel care înțelege expresia de mai sus știe că "românul" este doar un fel de rol, o tipologie, căreia i se potrivește întreg poporul român. Un alt exemplu: "Te invit diseară la un suc." Nu se precizează și nici nu știm cît înseamnă exact "un suc". Putem presupune că se vinde la pahar sau la sticlă, dar asta nu înseamnă că dacă cel care ne-a invitat a precizat un suc, nu s-a putut referi și la mai multe (sucuri, adică pahare sau sticle). Așadar, am substituit generalul (cîteva pahare/sticle pe care le-am putea bea) prin particular (un suc). Sau, altfel spus, "un suc" este un rol ce va fi jucat de consumația din această seară.

Modul în care putem folosi aceste tehnici cognitive privitoare la metonimii în cazul construcțiilor abstracte este exemplificat de Lakoff și Nuñez în ecuații algebrice. De exemplu, ecuația \( 2x + 1 = 5 \) poate fi înțeleasă printr-o tehnică a metonimiei: \( x \) este un rol, un particular (o anume literă/simbol), care va fi jucat de soluția ecuației, adică de numărul \( 2 \). Am putea crede că este o substituție a particularului prin particular, însă nu este adevărat. Amintiți-vă din teoria metaforelor conceptuale că numerele sînt, de fapt, înțelese prin cantități. Așadar, chiar ecuația trivială \( x = 2 \) poate fi înțeleasă printr-o substituție de oricîte obiecte generale: 2 kilograme de cartofi, 2 ochi, 2 mîini, 2 țări etc.

Exemplul pe care îl dau cei doi cercetători în cartea Where Mathematics Comes From este la fel de revelator. Ei pornesc de la o metonimie de forma: "Cînd vine băiatul cu pizza, nu uita să-i mulțumești!", în care evident că nu știm cine este băiatul care va aduce pizza. Sau ne putem exprima chiar și mai laconic, "Cînd vine (cu) pizza, să zici mersi!". Particularul ([băiatul cu] pizza) înlocuiește generalul: pînă nu sună la ușă, orice om ar putea să ne livreze pizza, sau chiar o dronă. Dar cînd sună la ușă, se realizează substituția, "intrarea în rol", am putea spune. Vedem exact cine vine cu pizza și mai mult, știm exact ce avem de făcut — mulțumim.

Exact aceeași schemă poate funcționa și în rezolvarea ecuației \( 2x + 1 = 5 \). Înțelegem ce se transmite și știm că, în principiu, orice număr poate funcționa drept soluție. Dar după ce o rezolvăm cu tehnicile specifice, realizăm intrarea în rol și știm că \( x = 2 \).

Despre teorii elementare

Facem o scurtă precizare aici privitoare la două aspecte importante ale celor de mai sus. Primul este acela că am prezentat teorii, care, așa cum am spus la început, nu sînt încă unanim acceptate sau demonstrate. Însă domeniul științelor cognitive, mai ales atunci cînd tratează subiecte atît de abstracte (nu știm nici măcar ce este matematica ori simbolurile sale; filosofii dezbat de mii de ani acest lucru, deci, concret vorbind, nici nu știm ce căutăm în creierul unui subiect dacă am face un experiment și am căuta manifestarea trupească a simbolurilor matematice) este suficient de complex încît, probabil, să nu poată exista niciodată teorii universale. Mai degrabă, ele sînt extrem de specializate și se referă la părți destul de mici ale înțelegerii și gîndirii noastre. În plus, așa stînd lucrurile, nu e clar nici ce și cum am putea testa. Dacă scanăm creierul unui subiect care aude propoziția despre pizza și apoi cînd rezolvă ecuația \( 2x + 1 = 5 \) și vedem că există arii cerebrale comune care se activează, deducem că subiectul gîndește (parțial) la fel în cele două cazuri? Greu de răspuns. Însă ceea ce se poate testa și s-a verificat deja privitor la reprezentarea cerebrală a elementelor ce țin de matematică vom vorbi într-un episod ulterior.

A doua precizare este legată de simplitatea exemplelor. Evident că matematica nu se reduce la ecuația \( 2x + 1 = 5 \) sau la proprietățile lui \( 0 \) și \( 1 \) sau la axa numerelor reale. Însă, în același timp, trebuie să fim conștienți de faptul că o bună parte a gîndirii noastre este cumulativă și reducționistă. Cu alte cuvinte, experiența este extrem de importantă și de foarte multe ori înțelegem ceva tocmai pentru că seamănă, se bazează pe sau poate fi redus la cunoștințe anterioare. Nimeni nu învață derivarea parțială a funcțiilor de 3 variabile reale fără să știe dinainte ce este o funcție, ce este o derivată și alte preliminarii. Astfel că, deși e foarte probabil să fim departe de a înțelege cum funcționează creierul cînd facem matematică avansată, cu siguranță este un punct excelent de pornire acela de a analiza numerele naturale, aritmetica elementară și alte concepte fundamentale.

Retrospectivă istorică și concluzii

Încheiem această prezentare cu cîteva remarci istorice, apoi concluzionăm. Așa cum am mai menționat, cercetările de mai sus sînt înscrise în așa-numita teorie a cunoașterii întrupate (embodied cognition, în engleză). Ea este cu mult mai veche decît scrierile lui Lakoff din anii 1980 și poate fi trasată cel puțin pînă în secolul XIX. Un grup de psihologi, filosofi și matematicieni au fondat ceea ce se numește fenomenologie, prin care se încerca înțelegerea obiectivă a subiectivului, ca să folosim o expresie oximoronică. Cu alte cuvinte, cercetători precum Franz Brentano, Georg Cantor, Karl Weierstrass, Edmund Husserl, Martin Heidegger, Sigmund Freud au încercat să extragă obiectivul din percepție, din simțuri. Convingerea lor este că singurul mod în care putem cunoaște lumea este subiectiv, prin senzații, simțuri și experiențe (numite, generic, fenomene, de unde numele disciplinei), astfel că se încerca teoretizarea acestora, într-un mod cît mai general și mai impersonal.

Implicațiile acestor eforturi au fost multiple și remarcabile în sine. Pe lîngă lucrări de fundamente ale matematicii (de la Gottlob Frege, David Hilbert, Bertrand Russell și alții), venite să contracareze o situare a matematicii în obiectiv, la psihanaliză (prin Sigmund Freud), la teorii ale existenței (la Martin Heidegger, Jean Paul Sartre, Maurice Merleau-Ponty și alții), pînă la o altă disciplină despre care vom vorbi într-un alt episod, intuiționismul. Acesta din urmă caută să instanțieze, să exemplifice orice obiect matematic din propoziții existențiale. Pe scurt, nu putem accepta adevărul unei propoziții precum \( \exists x : P(x) \) decît dacă acel \( x \) poate fi construit, exemplificat. Intuiționismul stă astăzi la baza unor teorii fascinante din informatică și chiar este inclus în design-ul multor limbaje de programare folosite în demonstratoare automate de teoreme, precum Coq, Agda, Idris, Lean.

Una dintre ideile fundamentale ale cunoașterii întrupate este că întreg mediul înconjurător, cu influențe culturale, climatice, sociale, economice, dar și întreg corpul nostru participă activ la experiența noastră de cunoaștere, atît a termenilor din limbajul natural, concreți, cît și a celor abstracți. Un exemplu simplu este acela al conceptului de număr. Majoritatea am învățat să numărăm și chiar aritmetică elementară (să "socotim") pe degete sau cu bețișoare sau cu alte tipuri de obiecte. În primii ani de viață, orice problemă numerică de matematică producea în noi reflexul de a ne uita la degete sau a scoate bețișoarele din penar. Dar cum stau lucrurile pentru copiii născuți orbi? La ce reduc ei numărul în primii ani de viață? Sau cum ar fi stat lucrurile dacă, pentru un experiment mintal, ne-am gîndi la un copil născut și trăit toată viața în izolare, într-o cameră în care ar fi găsit doar, să zicem, niciodată mai mult de 2 obiecte sau persoane. Astfel de situații ne arată că, într-adevăr, cunoașterea, chiar în ceea ce privește matematica și alte concepte abstracte, este departe de a fi "pur intelectuală" și mult mai probabil, concretă, întrupată. Iar teoriile pe care le-am prezentat (foarte pe scurt, cu detalii în bibliografie și chiar și așa, abia deschidem subiectul) susțin acest lucru și oferă și argumente, exemple credibile de cum ar putea funcționa creierul astfel încît achiziția de cunoștințe și limbaj tehnic și formal să fie cît mai concretă și reductibilă la natural, trupesc, vizibil.

Pînă la următorul episod, fiți curioși, puneți întrebări și exersați-vă mintea!

Bibliografie și lecturi suplimentare




Ultima modificare: 02.10.2021 @ 8:47